雑記

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お気付きの点がありましたらご指摘いただけますと幸いです。

  1. 宮川 雅巳. 統計的因果推論―回帰分析の新しい枠組み (シリーズ・予測と発見の科学). 朝倉書店. 2004.

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  • 操作変数法で因果効果が識別可能であることを確認するために、[1] の式 (5.25) の構造方程式モデルを具体的な数値で考えてみましょう。
    \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} X = \alpha_{xu} U + \alpha_{xz} Z + \epsilon_{x} \\ Y = \alpha_{yx} X + \alpha_{yu} U + \epsilon_{y} \end{array} \right. \tag{5.25}
    誤差項以外の各変数が平均 0, 分散 1 に標準化されていることから、
    \displaystyle \begin{split} 1 &= \mathbb{E} \bigl[ (\alpha_{xu} U + \alpha_{xz} Z + \epsilon_{x}) (\alpha_{xu} U + \alpha_{xz} Z + \epsilon_{x}) \bigr] \\ 1 &= \alpha_{xu}^2 + \alpha_{xz}^2 + s_{x}^2 \\ s_{x}^2 &= 1 - \alpha_{xu}^2 - \alpha_{xz}^2 \end{split}
    及び、
    \displaystyle \begin{split}1 &= \mathbb{E} \bigl[ (\alpha_{yx} X + \alpha_{yu} U + \epsilon_{y}) (\alpha_{yx} X + \alpha_{yu} U + \epsilon_{y}) \bigr] \\ 1 &= \mathbb{E} \bigl[ (\alpha_{yx} \alpha_{xu} U + \alpha_{yx} \alpha_{xz} Z + \alpha_{yx} \epsilon_{x} + \alpha_{yu} U + \epsilon_{y}) (\alpha_{yx} \alpha_{xu} U + \alpha_{yx} \alpha_{xz} Z + \alpha_{yx} \epsilon_{x} + \alpha_{yu} U + \epsilon_{y}) \bigr] \\ 1 &= (\alpha_{yx} \alpha_{xu} + \alpha_{yu})^2 + \alpha_{yx}^2 \alpha_{xz}^2 + \alpha_{yx}^2 s_{x}^2 + s_{y}^2 \end{split}
    を満たさなければなりませんが、パス係数を適当に決めて残りをノイズの分散に押し付ければよいでしょう。例えば以下にします。今回興味がある X から Y へのパス係数は 0.7 です。
    \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \alpha_{xu} =0.6 \\ \alpha_{xz} =0.5 \\ \alpha_{yx} =0.7 \\ \alpha_{yu} =0.3 \\ s_x =0.6245 \\ s_y =0.4099 \end{array} \right.
  • では実際に U を観測せずにパス係数 0.7 を推定できるか確認してみましょう……以下のノートブックのようにすれば 0.70156 と推定できますが、データ数を 10000 くらいにしないとここまで近くなりませんね。ノイズが大きかったでしょうか。