正規分布からの iid 標本の標本平均と不偏分散が独立であることの証明の話【その2】

参考文献

statistics - Proof of the independence of the sample mean and sample variance - Mathematics Stack Exchange. https://math.stackexchange.com/questions/47350/proof-of-the-independence-of-the-sample-mean-and-sample-variance. 参照日 2022年3月2日.
正規分布からの iid 標本の標本平均と不偏分散が独立であることの証明の話 - クッキーの日記

前回の記事です。

前回の記事のまた別の証明ですというか参考文献 [1] のベストアンサーの方が This can also be shown directly without too much hassle といっている方法をかき下しただけです。ヤコビアンを計算し出さずに参考文献 [1] のように「変換は線形なので」といえばこんなにスペースはとりません。

$Y^{(1)}, \cdots, Y^{(n)}$ の同時密度関数は以下である。
$\begin{align} \displaystyle f(Y^{(1)}, \cdots, Y^{(n)}) &= \frac{1}{ \sqrt{(2 \pi)^n}} \exp \left( -\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n y_i^2 \right) \\ &= \frac{1}{ \sqrt{(2 \pi)^n}} \exp \left( -\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \left( y_i - \overline{y}_n + \overline{y}_n \right)^2 \right) \\ &= \frac{1}{ \sqrt{(2 \pi)^n}} \exp \left( -\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \left( y_i - \overline{y}_n \right)^2 + \overline{y}_n \sum_{i=1}^n \left( y_i - \overline{y}_n \right) -\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \overline{y}_n^2 \right) \\ &= \frac{1}{ \sqrt{(2 \pi)^n}} \exp \left( -\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \left( y_i - \overline{y}_n \right)^2 \right) \exp \left( -\frac{n}{2} \overline{y}_n^2 \right) \\ &= \frac{1}{ \sqrt{(2 \pi)^n}} \exp \left( -\frac{1}{2} \sum_{i=2}^n \left( y_i - \overline{y}_n \right)^2 -\frac{1}{2} \left( \sum_{i=2}^n (y_i - \overline{y}_n) \right)^2 \right) \exp \left( -\frac{n}{2} \overline{y}_n^2 \right) \end{align}$
ここで、確率変数を $Y'^{(1)} = \overline{Y}_n, \, Y'^{(2)} = Y^{(2)} - \overline{Y}_n, \, \cdots, Y'^{(n)} = Y^{(n)} - \overline{Y}_n$ と変換する。この変換のヤコビアンは以下である。
$\left\{\begin{array}{llll} Y^{(1)} &= h_1(Y'^{(1)}, \cdots, Y'^{(n)}) &= n \overline{Y}_n - \sum_{j=2}^n Y^{(j)} = Y'^{(1)} - \sum_{j=2}^n Y'^{(j)} & \\ Y^{(i)} &= h_i(Y'^{(1)}, \cdots, Y'^{(n)}) &=Y'^{(i)} + Y'^{(1)} & (i \neq 1) \end{array} \right.$
$\begin{vmatrix} \partial_{Y'^{(1)}} h_1(Y'^{(1)}, \cdots, Y'^{(n)}) & \partial_{Y'^{(2)}} h_1(Y'^{(1)}, \cdots, Y'^{(n)}) & \cdots \\ \partial_{Y'^{(1)}} h_2(Y'^{(1)}, \cdots, Y'^{(n)}) & \partial_{Y'^{(2)}} h_2(Y'^{(1)}, \cdots, Y'^{(n)}) & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 & \cdots \\ 1 & 1 & 0 & \cdots \\ 1 & 0 & 1 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{vmatrix}$
よって $Y'^{(1)}, \cdots, Y'^{(n)}$ の同時密度関数は以下である。 $\begin{align} \displaystyle g(Y'^{(1)}, \cdots, Y'^{(n)}) &= \frac{1}{ \sqrt{(2 \pi)^n}} \exp \left( -\frac{1}{2} \sum_{i=2}^n {y'}_i^2 -\frac{1}{2} \left( \sum_{i=2}^n {y'}_i \right)^2 \right) \exp \left( -\frac{n}{2} {y'}_1^2 \right) \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 & \cdots \\ 1 & 1 & 0 & \cdots \\ 1 & 0 & 1 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{vmatrix} \end{align}$
これは ${y'}_1$ のみに依存する関数と ${y'}_2, \cdots {y'}_n$ のみに依存する関数の積になっているので $Y'^{(1)}$ と $Y'^{(2)}, \cdots, Y'^{(n)}$ は独立である。ここで、元の標本平均 $\overline{Y}_n$ は $Y'^{(1)}$ にのみ依存し、元の不偏分散 $V_n$ は $Y'^{(2)}, \cdots, Y'^{(n)}$ に依存するので、 $\overline{Y}_n$ と $V_n$ は独立である。