2022-03-20 加筆しました。
参考文献
- 井手 剛. 入門 機械学習による異常検知―Rによる実践ガイド―. コロナ社, 2015.
- 入門 機械学習による異常検知―Rによる実践ガイド: ノート2 - クッキーの日記
- 正規分布からの iid 標本の標本平均と不偏分散が独立であることの証明の話 - クッキーの日記【その1】
- 正規分布からの iid 標本の標本平均と不偏分散が独立であることの証明の話【その2】 - クッキーの日記
- 正規分布からの iid 標本の標本平均と不偏分散が独立であることの証明の話【その3】 - クッキーの日記
前回の記事までで「正規分布からの iid 標本の標本平均と不偏分散が独立である」証明の色々なパターンを扱ってきた。参考文献 [1] での証明もまた【その1】と同じ を見出す派だが、していることが少し異なる。
参考文献 [1] では直交行列 で
と変換して
、つまり2次形式の標準形とすることは最初から目指す(ノーテーションは【その1】の記事と同じである)。一応、どのような
がこれを達成するかは
の成分を使ってこの式をかき下して係数比較することで求まる。というか【その1】の潜在変数版の証明で限りなくそれをやっている。他方、参考文献 [1] では
より
標本
の標本平均
と不偏分散
が独立であることの証明まとめ
- 標本を
からのサイズ 1 の標本と考える。確率分布族
を考えたとき、
は
について完備十分統計量であり、
は
について補助統計量である。したがってバス―の定理より、任意の
について
と
は独立である。【その3】
- 標本を
からのサイズ 1 の標本と考える。この標本は
からのサイズ 1 の標本
の変換
で生成できる。ただし
は任意の直交行列である。
- ここで天下り的に
として 1 列目の成分がすべて
である直交行列を選ぶと、
は
のみに依存し、
は
のみに依存する。よって
と
は独立である。【その1a】
- ここで、
として「
が
の最初の
個の成分には依存しない」ようになるものを取りたい。そうなるためには
の最初の
列は列和が
でなければならない。よって
は 1 列目の成分がすべて
である直交行列でなければならない。逆にこのとき
は
のみに依存する。よって
と
は独立である。【その1b】
と
が独立かというよりは
がどのような分布にしたがうか知りたいので、
として
を2次形式の標準形にするもの、つまり、
を対角化するものを選ぶ。すると上記2つのアプローチと同じ
が見出される。【その4】
- ここで天下り的に
- 標本を
からのサイズ 1 の標本と考える。この確率密度関数は、
のみに依存する部分と、
のみに依存する部分の積でかける。よって
と
は独立である。よって
と
は独立である。【その2】