確率論セミナー(25.5)：予習メモ

Skype数学勉強会確率論セミナーの予習メモ
読んでいる本（現在はサブテキスト）：はじめての確率論測度から確率へ : 佐藤坦 : 本 : Amazon

読んだ範囲： 10～15ページ
予習ノートは書いたのでその補足的なメモ。

補題2.4の証明の流れ：
- $B_d = \sigma [ J_d ]$ を示すのに、 $\sigma [ J_d ] \subset B_d$ と $B_d \subset \sigma [ J_d ]$ を両方示す。
- $\sigma [ J_d ] \subset B_d$ の方がやりやすくて、 $B_d$ はボレル集合体、つまり開部分集合全体を含む $\sigma$ -集合体なので、 $\sigma [ J_d ]$ の全ての元が開部分集合の可算積でかけることを示せばいい（★1）。
- の方が大変で、に開部分集合が全て入っているといえればいいけど直接は難しい。
  そこで補題15.2、つまり全ての空でない開集合がの元の可算和でかけることをつかう。
  - $J_{d}^{Q}$ の全ての元は $J_d$ の元の可算和でかける（★2）。
  - $\sigma [ J_d ]$ は $\sigma$ -集合体なので $J_{d}^{Q}$ の全ての元は $\sigma [ J_d ]$ の元。
  - $\sigma [ J_d ]$ は $\sigma$ -集合体なので $J_{d}^{Q}$ の元の可算和も $\sigma [ J_d ]$ の元。よって、開部分集合は全て $\sigma [ J_d ]$ の元。
  - $B_d$ はその定義より開部分集合全体を含む最小の $\sigma$ -集合体なので $B_d \subset \sigma [ J_d ]$ 。

補題2.4の補足：
- ★1 と ★2 の証明で、以下を踏まえておかないといけない。
  - 積集合と直積は交換する： $\bigcap_n \prod_k A_{k,n} = \prod_k \bigcap_n A_{k,n}$
  - 和集合と直積は一般には交換しない： $\bigcup_n \prod_k A_{k,n} \neq \prod_k \bigcup_n A_{k,n}$
  - $A_{k,1} \subset A_{k,2} \subset A_{k,3} \cdots$ であれば和集合と直積は交換する： $\bigcup_n \prod_k A_{k,n} = \prod_k \bigcup_n A_{k,n}$
- ★1 において、「の全ての元が開部分集合の可算積でかける」というのに以下の等式をつかう。
  　
  この積集合と直積は交換するので、結局以下を示せばよい。
  　
  - （左辺）⊂（右辺）の証明：
    任意の $n$ に対して $(a_k, \, b_k] \subset (a_k, \, b_k + 1/n)$ なので $(a_k, \, b_k] \subset \bigcap_{n=1}^{\infty} (a_k, \, b_k + 1/n)$ 。
  - （右辺）⊂（左辺）の証明：
    $x$ を右辺の元とすると、 $a_k < x$ 。
    いま、 $b_k < x$ なる $x$ があるとする。
    このとき、十分大きな $N$ をとれば $b_k < b_k + 1/N < x$ とできる。
    この $x$ は $(a_k, \, b_k + 1/N)$ の元ではないので右辺の元であることに矛盾。よって $x \leqq b_k$ 。
    任意の右辺の元 $x$ について $a_k < x \leqq b_k$ なので、右辺の元ならば左辺の元。
- ★2 において、「の全ての元はの元の可算和でかける」というのに以下の等式をつかう。
  　
  この和集合と直積は交換するので、結局以下を示せばよい。
  　
  - （右辺）⊂（左辺）の証明：
    任意の $n$ に対して $(r_k, \, q_k - (q_k - r_k)/n ] \subset (r_k, \, q_k)$ なので $\bigcup_{n=1}^{\infty} (r_k, \, q_k - (q_k - r_k)/n ] \subset (r_k, \, q_k)$ 。
  - （左辺）⊂（右辺）の証明：
    $x$ を任意の左辺の元とすると、 $r_k < x < q_k$ 。 $x < q_k$ なので、十分大きな $N$ をとれば $x < x + (q_k - r_k)/N < q_k \, \Rightarrow \, x < q_k - (q_k - r_k)/N$ とできる。
    よって $x$ は $(r_k, \, q_k - (q_k - r_k)/N ]$ の元なので、右辺の元。

集合の lim sup と lim inf の補足：

	どんな $\omega$ の集合か	$A_k$ が「コインを無限回投げて $k$ 回目に表が出る事象」のとき
$\displaystyle \bigcup_{k=n}^{\infty} A_k$	$k \geqq n$ である $A_k$ の少なくともどれか1つに属する $\omega$ の集合。	n回目以降少なくとも1回表が出るという事象。
$\displaystyle \bigcap_{k=n}^{\infty} A_k$	$k \geqq n$ である $A_k$ のすべてに属する $\omega$ の集合。	n回目以降ずっと表が出るという事象。
$\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} A_k$	任意の $n$ に対して $k \geqq n$ である $A_k$ の少なくともどれか1つに属する $\omega$ の集合＝ $\omega \in A_k$ となる $k$ が無限個あるような $\omega$ の集合。	どの回数から先も表が出るという事象＝無限回表が出るという事象。
$\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} A_k$	ある $n$ に対して $k \geqq n$ である $A_k$ のすべてに属する $\omega$ の集合＝ $\omega \notin A_k$ となる $k$ が有限個しかないような $\omega$ の集合。	ある回数以降ずっと表が出るという事象＝裏が有限回しか出ないという事象。