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確率論セミナー(25.5): 予習メモ

確率論 勉強会

Skype数学勉強会 確率論セミナー の予習メモ
読んでいる本(現在はサブテキスト): はじめての確率論 測度から確率へ : 佐藤 坦 : 本 : Amazon

読んだ範囲: 10~15ページ
予習ノートは書いたのでその補足的なメモ。

  • 補題2.4の証明の流れ:
    •  B_d = \sigma [ J_d ] を示すのに、 \sigma [ J_d ] \subset B_d B_d \subset \sigma [ J_d ] を両方示す。
    •  \sigma [ J_d ] \subset B_d の方がやりやすくて、 B_d はボレル集合体、つまり開部分集合全体を含む  \sigma-集合体なので、 \sigma [ J_d ] の全ての元が開部分集合の可算積でかけることを示せばいい(★1)。
    •  B_d \subset \sigma [ J_d ] の方が大変で、 \sigma [ J_d ] に開部分集合が全て入っているといえればいいけど直接は難しい。
      そこで補題15.2、つまり全ての空でない開集合が  J_{d}^{Q} の元の可算和でかけることをつかう。
      •  J_{d}^{Q} の全ての元は  J_d の元の可算和でかける(★2)。
      •  \sigma [ J_d ] \sigma-集合体なので  J_{d}^{Q} の全ての元は  \sigma [ J_d ] の元。
      •  \sigma [ J_d ] \sigma-集合体なので  J_{d}^{Q} の元の可算和も  \sigma [ J_d ] の元。よって、開部分集合は全て  \sigma [ J_d ] の元。
      •  B_d はその定義より開部分集合全体を含む最小の  \sigma-集合体なので  B_d \subset \sigma [ J_d ]
  • 補題2.4の補足:
    • ★1 と ★2 の証明で、以下を踏まえておかないといけない。
      • 積集合と直積は交換する:  \bigcap_n \prod_k A_{k,n} = \prod_k \bigcap_n A_{k,n}
      • 和集合と直積は一般には交換しない:  \bigcup_n \prod_k A_{k,n} \neq \prod_k \bigcup_n A_{k,n}
      •  A_{k,1} \subset A_{k,2} \subset A_{k,3} \cdots であれば和集合と直積は交換する:  \bigcup_n \prod_k A_{k,n} = \prod_k \bigcup_n A_{k,n}
    • ★1 において、「 \sigma [ J_d ] の全ての元が開部分集合の可算積でかける」というのに以下の等式をつかう。
        \displaystyle \prod_{k=1}^d (a_k, \, b_k] = \bigcap_{n=1}^{\infty} \prod_{k=1}^d (a_k, \, b_k +\frac{1}{n})
      この積集合と直積は交換するので、結局以下を示せばよい。
        \displaystyle (a_k, \, b_k] = \bigcap_{n=1}^{\infty} (a_k, \, b_k +\frac{1}{n})
      • (左辺)⊂(右辺)の証明:
        任意の  n に対して  (a_k, \, b_k] \subset (a_k, \, b_k + 1/n) なので  (a_k, \, b_k] \subset \bigcap_{n=1}^{\infty} (a_k, \, b_k + 1/n)
      • (右辺)⊂(左辺)の証明:
         x を右辺の元とすると、 a_k < x
        いま、 b_k < x なる  x があるとする。
        このとき、十分大きな  N をとれば  b_k < b_k + 1/N < x とできる。
        この  x (a_k, \, b_k + 1/N) の元ではないので右辺の元であることに矛盾。よって  x \leqq b_k
        任意の右辺の元  x について  a_k < x \leqq b_k なので、右辺の元ならば左辺の元。
    • ★2 において、「 J_{d}^{Q} の全ての元は  J_d の元の可算和でかける」というのに以下の等式をつかう。
        \displaystyle \prod_{k=1}^d (r_k, \, q_k) = \bigcup_{n=1}^{\infty} \prod_{k=1}^d (r_k, \, q_k - \frac{1}{n} (q_k - r_k) ]
      この和集合と直積は交換するので、結局以下を示せばよい。
        \displaystyle (r_k, \, q_k) = \bigcup_{n=1}^{\infty} (r_k, \, q_k - \frac{1}{n} (q_k - r_k) ]
      • (右辺)⊂(左辺)の証明:
        任意の  n に対して  (r_k, \, q_k - (q_k - r_k)/n ] \subset (r_k, \, q_k) なので  \bigcup_{n=1}^{\infty} (r_k, \, q_k - (q_k - r_k)/n ] \subset (r_k, \, q_k)
      • (左辺)⊂(右辺)の証明:
         x を任意の左辺の元とすると、 r_k < x < q_k x < q_k なので、十分大きな  N をとれば  x < x + (q_k - r_k)/N < q_k \, \Rightarrow \, x < q_k - (q_k - r_k)/N とできる。
        よって  x (r_k, \, q_k - (q_k - r_k)/N ] の元なので、右辺の元。
  • 集合の lim sup と lim inf の補足:

どんな  \omega の集合か A_k が「コインを無限回投げて  k 回目に表が出る事象」のとき
 \displaystyle \bigcup_{k=n}^{\infty} A_k k \geqq n である  A_k の少なくともどれか1つに属する  \omega の集合。n回目以降少なくとも1回表が出るという事象。
 \displaystyle \bigcap_{k=n}^{\infty} A_k k \geqq n である  A_k のすべてに属する  \omega の集合。n回目以降ずっと表が出るという事象。
 \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} A_k任意の  n に対して  k \geqq n である  A_k の少なくともどれか1つに属する  \omega の集合 =  \omega \in A_k となる k が無限個あるような  \omega の集合。どの回数から先も表が出るという事象 = 無限回表が出るという事象。
 \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} A_kある  n に対して k \geqq n である  A_k のすべてに属する  \omega の集合 =  \omega \notin A_k となる k が有限個しかないような  \omega の集合。ある回数以降ずっと表が出るという事象 = 裏が有限回しか出ないという事象。