ルカムの第1補題（その1） - クッキーの日記

お気付きの点がありましたらご指摘いただけますと幸いです。

Amazon | Asymptotic Statistics (Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics, Series Number 3) | van der Vaart, A. W. | Applied
G. Jogesh Babu and Bing Li. A Revisit to Le Cam’s First Lemma. Sankhya A 83, 597–606, 2021.

以下を示したいです。

命題〈ルカムの第1補題の一部〉

$\{P_n\}, \, \{Q_n\}$ を可測空間列 $(\Omega_n, \, \mathcal{A}_n)$ 上の確率測度列とするとき、(1) ならば (2) である。

(1) $Q_n \triangleleft P_n$ である。
(2) ある部分列 $\{n'\}$ に沿って $\displaystyle \frac{dP_{n'}}{dQ_{n'}} \overset{Q_{n'}}{\rightsquigarrow} U$ ならば、 $Q(U > 0) = 1$ である。

ただし、 $Z_n \overset{P_n}{\rightsquigarrow} Z$ は、任意の有界連続関数 $f$ に対して ${\mathrm E}_{P_n} f(Z_n) \to {\mathrm E}_P f(Z)$ であることを意味し、 $U$ は確率空間 $(\Omega', \, \mathcal{A}', \, Q)$ 上の確率変数である。

まず、 $Q_n \triangleleft P_n$ である（「 $Q_n$ は $P_n$ に関して近接している」）とは、任意の可測集合列 $\{A_n\}$ について $P_n(A_n) \to 0$ ならば $Q_n(A_n) \to 0$ であるという意味でした。十分大きな $n$ で $P_n$ の密度がない場所では $Q_n$ の密度もないというイメージ……下図の左のようなイメージです。

つまり、上図の左のような状況下で、「ピンク色の確率測度で考えて、『水色の確率密度をピンク色の確率密度で割ったものという確率変数（尤度比）』が正である確率は 1 です」ということを示せということなのですが、それはそのはずなのですよね。尤度比が正でない確率があるのであったら上図の右のように尤度比が 0 の「穴」があるはずで、これだともう $Q_n \triangleleft P_n$ ではないですから。

証明していきましょう。そもそも尤度比 $dP_{n'}/dQ_{n'}$ は 0 以上なので任意の $n'$ で以下が成り立ちます。

$\displaystyle Q_{n'} \left( \frac{dP_{n'}}{dQ_{n'}} \geqq 0 \right) = 1$ ただ今回は、尤度比の極限 $U$ については正である確率が 1 であってほしく、言い換えると尤度比の極限 $U$ が 0 である確率が 0 であってほしいわけです。以下を示せばよいです。 $Q(U=0) = 0$ ではどうするかというと、「分布収束先の確率変数の値がこうなっている確率」を上から 0 に抑えたいので [1] の補題 2.2（Portmanteau の補題）の (5) で尤度比 $dP_{n'}/dQ_{n'}$ と尤度比の極限 $U$ の関係を記述してみます。 $\varepsilon$ は任意の正数です。 $\displaystyle \underset{n' \to \infty}{\lim \, \inf \,} Q_{n'} \left( \frac{dP_{n'}}{dQ_{n'}} < \varepsilon \right) \geqq Q (U < \varepsilon) \geqq Q (U = 0)$ 上式の最左辺を 0 にもっていくために変形していきたいのですが、尤度比 $dP_{n'}/dQ_{n'}$ が $\varepsilon$ 未満である確率は $P_{n'}$ ‐確率測度になってしまいますね（[1] の補題 6.2）。 $\displaystyle P_{n'} \left( \frac{dP_{n'}}{dQ_{n'}} < \varepsilon \land q_{n'} > 0 \right) = \int_{\frac{dP_{n'}}{dQ_{n'}} < \varepsilon } \frac{dP_{n'}}{dQ_{n'}} dQ_{n'} \leqq \varepsilon \int dQ_{n'} = \varepsilon$ いえでも、いま $Q_{n'} \triangleleft P_{n'}$ であるので $P_{n'}(A_{n'}) \to 0$ ならば $Q_{n'}(A_{n'}) \to 0$ なので $Q_{n'}$ ‐確率測度に戻ってきますね。そうなると、 $\varepsilon$ を $\varepsilon_{n'}$ として添え字 $n'$ を大きくすると 0 に近づいていくようにしたいですね。適当に $\varepsilon_{n'} = 1/{n'}$ としてはいけないのでしょうか……？

つづく