雑記

雑記

お気付きの点がありましたらご指摘いただけますと幸いです。

  1. Amazon | Asymptotic Statistics (Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics, Series Number 3) | van der Vaart, A. W. | Applied
  2. convergence - Limit of $t$-distribution as $n$ goes to infinity - Cross Validated
  3. F. G. Tricomi, A. Erdélyi. The Asymptotic Expansion of a Ratio of Gamma Functions. Pacific Journal of. Mathematics, 1951.
  4. スターリングの近似 - Wikipedia
[1] の章末問題をやります。《要証明》の箇所は時間がなくかけていません。
2.1　X_n が自由度 n の t 分布にしたがうとき、X_n \rightsquigarrow N(0, 1) であることを示せ。
X_n が自由度 n の t 分布にしたがうので、
\displaystyle P(X_n \leqq x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{\Gamma \bigl( (n + 1) / 2 \bigr)}{\sqrt{n \pi} \Gamma (n / 2)} \left( 1 + \frac{t^2}{n} \right)^{-(n + 1)/2} dt
である（ t 分布の確率密度関数にはガンマ関数の比があらわれる）。

【解1】
[2] の Ben 氏の Answer によるとそもそもガンマ関数の比の漸近的ふるまいが [3] の Tricomi and Erdélyi, 1951 によって明らかにされており、以下となる。

\displaystyle \frac{\Gamma(z + \alpha)}{\Gamma(z + \beta)} = z^{\alpha - \beta} \left[ 1 + \frac{(\alpha - \beta)(\alpha + \beta - 1)}{2z} + \mathcal{O}(|z|^{-2})\right]
したがって、t 分布の確率密度関数のうちガンマ関数の比になっている部分のみの漸近的ふるまいは、
\displaystyle \frac{\Gamma \bigl( (n + 1) / 2 \bigr)}{\sqrt{n \pi} \Gamma (n / 2)} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \left[ 1 - \frac{1}{4n} + \mathcal{O}(n^{-2})\right]
となり n \to \infty で 1/\sqrt{2 \pi} に収束する。他方、確率密度関数の残りの部分も収束するので（高校で習った）、合わせると結局以下となり、右辺は標準正規分布の確率密度関数である。
\displaystyle \frac{\Gamma \bigl( (n + 1) / 2 \bigr)}{\sqrt{n \pi} \Gamma (n / 2)} \left( 1 + \frac{t^2}{n} \right)^{-(n + 1)/2} \xrightarrow[n \to \infty]{} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left( - \frac{t^2}{2} \right)
ここで、優収束定理を用いるために、任意の自由度 n の t 分布の確率密度関数がある可積分関数 F で上から抑えられることを示す（証明はこちら）。よって、
\displaystyle \begin{split} P(X_n \leqq x) &= \int_{-\infty}^{x} \frac{\Gamma \bigl( (n + 1) / 2 \bigr)}{\sqrt{n \pi} \Gamma (n / 2)} \left( 1 + \frac{t^2}{n} \right)^{-(n + 1)/2} dt \\ &\xrightarrow[n \to \infty]{} \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left( - \frac{t^2}{2} \right) dt \\ &= P(X \leqq x) \end{split}
より、X_1, X_2, \cdots は標準正規分布にしたがう確率変数 X に分布収束する。ただし、1行目から2行目で極限と積分を交換するのに優収束定理を用いた。

【解2】
この問では漸近的ふるまいに興味はないので分布収束先の分布を知るには [3] のスターリングの公式を用いればじゅうぶんである《要証明》。

\displaystyle \Gamma(z) = \sqrt{\frac{2 \pi}{z}} \left( \frac{z}{e} \right)^z \left( 1 + \mathcal{O}\left(\frac{1}{z}\right) \right)

2.2　先の問からただちに「任意の p \in \mathbb{N} について {\rm E}X_n^p \to {\rm E}N(0, 1)^p である」といえるか。
ただちにはいえない。先ほどはルベーグの優収束定理を用いて極限と積分を交換できたが今回は先ほどと同じ要領で交換することはできない。
\displaystyle {\rm E}X_n^p = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\Gamma \bigl( (n + 1) / 2 \bigr)}{\sqrt{n \pi} \Gamma (n / 2)} \left( 1 + \frac{t^2}{n} \right)^{-(n + 1)/2} \, t^p dt
\displaystyle {\rm E}N(0, 1)^p = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left( - \frac{t^2}{2} \right) \, t^p dt

2.3　X_n \rightsquigarrow N(0, 1) かつ Y_n \xrightarrow{\rm P} \sigma であるとき、X_n Y_n \rightsquigarrow N(0, \sigma^2) であることを示せ。
《要証明》