雑記 - クッキーの日記

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Amazon | Asymptotic Statistics (Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics, Series Number 3) | van der Vaart, A. W. | Applied

母分布が正規分布のときは標本分散がしたがう分布がわかります。ここで、 $\chi_{n-1}^2$ は自由度 $n$ のカイ2乗分布の意です。

命題ア〈正規分布からの標本の分散がしたがう分布〉

$X_1, \, X_2, \, \cdots, \, X_n$ をそれぞれ独立に $\mathcal{N}(\mu, \, \sigma^2)$ にしたがう確率変数とする。
$X_1, \, X_2, \, \cdots, \, X_n$ の分散を $S_n^2 \equiv n^{-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X_n})^2$ とおく。

このとき、 $n S_n^2 / \sigma^2$ は $\chi_{n-1}^2$ にしたがう。

母分布が正規分布でないときには標本分散がしたがう分布がわかりませんが、4次までの中心モーメントが有限であれば漸近分布がわかります。モーメントよりも尖度を分布の性質として議論することが多そうなので、尖度でも表記しておきます。

命題イ〈標本分散が漸近的にしたがう分布〉

$F$ を 1, 2, 3, 4 次の中心モーメント $\mu_1, \, \mu_2, \, \mu_3, \, \mu_4$ が有限であるような分布とし、 $X_1, \, X_2, \, \cdots, \, X_n$ をそれぞれ独立に $F$ にしたがう確率変数とする。
$X_1, \, X_2, \, \cdots, \, X_n$ の分散を $S_n^2 \equiv n^{-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X_n})^2$ とおく。

このとき、 $\sqrt{n}(S_n^2 - \mu_2)$ は $\mathcal{N}(0, \mu_4 - \mu_2^2)$ に分布収束する。

命題ウ〈標本分散が漸近的にしたがう分布（尖度で表記する版）〉

このとき、 $\sqrt{n}(S_n^2 / \mu_2 - 1)$ は $\mathcal{N}(0, \kappa + 2)$ に分布収束する。

ただし、 $\kappa \equiv \mu_4 / \mu_2^2 - 3$ は $F$ の尖度である。

ここまでくると、母分布が正規分布でないときにカイ2乗検定をするとどのように誤るかがわかります。先に結論をいうと、以下のようになります。

命題エ〈母分布が正規分布でないときにカイ2乗検定をしたとき帰無仮説が棄却される確率〉

$F$ を 1, 2, 3, 4 次の中心モーメント $\mu_1, \, \mu_2, \, \mu_3, \, \mu_4$ が有限、特に $\mu_2 = 1$ であるような分布とし、 $X_1, \, X_2, \, \cdots, \, X_n$ をそれぞれ独立に $F$ にしたがう確率変数とする。
$X_1, \, X_2, \, \cdots, \, X_n$ の分散を $S_n^2 \equiv n^{-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X_n})^2$ とおく。

また、 $c_{n-1, \alpha}$ を自由度 $n-1$ のカイ2乗分布の上側 $100 \alpha$ パーセント点とする。
$z_{\alpha}$ を標準正規分布の上側 $100 \alpha$ パーセント点とする。
$\Phi(x)$ を標準正規分布の累積分布関数とする。

このとき、 $a_n \equiv \mathbb{P} (n S_n^2 > c_{n-1, \alpha})$ は $\displaystyle 1 - \Phi \left( z_\alpha \sqrt{\frac{2}{\kappa + 2}} \right)$ に収束する。

これを示すには、以下のようにかき換えて、

$\displaystyle a_n = \mathbb{P} (n S_n^2 > c_{n-1, \alpha}) = \mathbb{P} \left( \frac{\sqrt{n} S_n^2 -1}{\sqrt{\kappa + 2}} > \frac{c_{n-1, \alpha} - n}{\sqrt{2n}} \sqrt{\frac{2}{\kappa + 2}} \right)$

このうえで $n$ を大きくとり、命題ウと後述の命題オの漸近分布によみかえます。

命題オ〈カイ2乗分布の自由度を大きくしたときの漸近分布〉

$X_1, \, X_2, \, \cdots, \, X_n$ をそれぞれ $\chi_{1}^2, \, \chi_{2}^2, \, \cdots, \chi_{n}^2$ にしたがう確率変数とする。このとき、 $(X_n - n) / \sqrt{2n}$ は $\mathcal{N}(0, \, 1)$ に分布収束する。

命題エの帰結は、母分布 $F$ の尖度 $\kappa$ が $0$ より大きいならばそれだけ棄却限界が近づいてきてしまう、といえるでしょう。

途中