雑記

雑記

お気付きの点がありましたらご指摘いただけますと幸いです。

  1. https://files.core.ac.uk/pdf/2612/81864331.pdf
自由度 n（ここでは n = 1, 2, \cdots とする）の t 分布の確率密度関数は以下である。任意の n= 1, 2, \cdots についてこれを上から抑える可積分関数 F(t) を考える。
\displaystyle f_n(t) = \frac{\Gamma \bigl( (n + 1) / 2 \bigr)}{\sqrt{n \pi} \Gamma (n / 2)} \left( 1 + \frac{t^2}{n} \right)^{-(n + 1)/2} \equiv C_n \tilde{f}_n(t)

まず、Gurland’s double inequality [1] より、任意の n について以下の式が成り立つ。したがって、任意の n について C_n < 1 が成り立つ。
\displaystyle n \pi {C_n}^2 < \frac{n^2}{2n + 1}

また、 \tilde{f}_n(t) は以下より \exp(-t^2/2) に収束するのであった。なお、この波括弧の中身は n/t^2 について単調増加である（証明略）。
\displaystyle \tilde{f}_n(t) = \left( 1 + \frac{t^2}{n} \right)^{-(n + 1)/2} = \left( 1 + \frac{1}{n / t^2} \right)^{-1/2} \left\{ \left( 1 + \frac{1}{n / t^2} \right)^{n/t^2} \right\}^{-t^2/2} \xrightarrow[n \to \infty]{} \exp \left( - \frac{t^2}{2} \right)
よって、|t| > 1 のとき、任意の n について \tilde{f}_n(t) < 2^{-t^2/2} である。
他方、|t| \leqq 1 のとき、 \tilde{f}_n(t) は t=0 で最大値をとるので \tilde{f}_n(t) \leqq 1 である。

よって、以下の F(t) は任意の n について f_n(t) を上から抑える。

F(t) = \left\{ \begin{array}{ll}1 & (|t| \leqq 1)\\ 2^{-t^2/2} & (|t| > 1) \end{array} \right.

また、 \tilde{\tilde{f}}(t) = 2^{-t^2/2} は (-\infty, \infty) で積分すると \sqrt{2 \pi / \log 2} である。
よって F(t) は可積分である。