確率論セミナー(19)：参加メモ

Skype数学勉強会確率論セミナーの参加メモ
読んでいる本：はじめての確率論測度から確率へ : 佐藤坦 : 本 : Amazon

今日読んだ範囲： 174～176ページ
記事タイトルのカッコ内の数字は、ウィキに合わせて休講もカウントした回数にしました。
以下雑多なメモ。

収束列：収束先の $x \in E$ がある。
コーシー列： $d(x_m, x_n) < \varepsilon \; \textrm{ for all } \; m, n \geq N(\varepsilon)$
収束列はコーシー列：収束列だったら収束先の $x \in E$ があってその $\varepsilon/2$ 近傍に全部入る。
完備距離空間：コーシー列が収束する距離空間。
- 実数 $\mathbb{R}$ は完備。
- が完備じゃなくても部分集合は完備になりえる。
  - $\emptyset$ はいつも完備。コーシー列がないから。
- ( (0, 1], 普通の距離 ) は完備じゃない。0に近づくコーシー列が収束しないから。
  - なお、距離 $d(x, y)$ を以下の赤線のようにすれば完備になる。0に近づくコーシー列がないから。
前回やった、数列と数列の間に距離をいれたやつは完備。
（数列がずれはじめる最初のインデックスを用いてを距離とする。）
- イメージ：
  - ある数列とある数列の距離が 1/2 未満だったら、1項目まで同じ。
  - ある数列とある数列の距離が 1/4 未満だったら、2項目まで同じ。
  - ある数列とある数列の距離が 2^(-N) 未満だったら、N項目まで同じ。
  - 数列のコーシー列があったら、数列の各項に極限がある。
- 証明：
  - $s_{n, i}, \; n \in N$ が数列の空間 $S^\infty$ のコーシー列であるとする。
  - コーシー列なので、 $n_1$ 番目から互いの距離が $1/2$ 未満になる。→ $n_1$ 番目以降1項目は同じ。
  - コーシー列なので、 $n_2$ 番目から互いの距離が $1/4$ 未満になる。→ $n_2$ 番目以降2項目まで同じ。
  - コーシー列なので、 $n_k$ 番目から互いの距離が $2^{-k}$ 未満になる。→ $n_k$ 番目以降 $k$ 項目まで同じ。
  - この同じになっていく先を $s'_i$ とおく。これが $s_{n, i}$ の収束先であることを示す。
  - 収束することを示すので $\varepsilon$ をとる。
  - $2^{-k} < \varepsilon$ であるような $k$ をとる。
  - $s_{n, i}$ の $n_k$ 番目以降は $k$ 項目まで $s'_i$ と同じ。
  - k項目まで $s'_i$ と同じなのだったら、 $s'_i$ との距離が $2^{-k}$ 未満。 $\Rightarrow$ $\varepsilon$ 未満。
  - $s_{n, i}$ の $n_k$ 番目以降 $s'_i$ との距離が $\varepsilon$ 未満なので、 $s_{n, i}$ は $s'_i$ に収束する。