お気付きの点がありましたらご指摘いただけますと幸いです。
たとえその場合であっても、デルタ法っていうパッケージをつかえば自分で議論しなければならないことは結構減ると思うけどな。それに、 Example 3.4 にはデルタ法をつかうのが見通しのよい例があるみたいだよ。
どれどれ……「標本分散と t 統計量の同時分布」ですか。確かにその漸近分布を知るにはデルタ法が有効そうですが……標本分散と t 統計量の同時分布をそんなに知りたいですか?
数式が崩れていたらその記事単体を表示すると解消するかもしれないです。
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たとえその場合であっても、デルタ法っていうパッケージをつかえば自分で議論しなければならないことは結構減ると思うけどな。それに、 Example 3.4 にはデルタ法をつかうのが見通しのよい例があるみたいだよ。
どれどれ……「標本分散と t 統計量の同時分布」ですか。確かにその漸近分布を知るにはデルタ法が有効そうですが……標本分散と t 統計量の同時分布をそんなに知りたいですか?
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母分布が正規分布のときは標本分散がしたがう分布がわかります。ここで、 は自由度 のカイ2乗分布の意です。
母分布が正規分布でないときには標本分散がしたがう分布がわかりませんが、4次までの中心モーメントが有限であれば漸近分布がわかります。モーメントよりも尖度を分布の性質として議論することが多そうなので、尖度でも表記しておきます。このとき、 は に分布収束する。
このとき、 は に分布収束する。
ただし、 は の尖度である。
また、 を自由度 のカイ2乗分布の上側 パーセント点とする。
を標準正規分布の上側 パーセント点とする。
を標準正規分布の累積分布関数とする。
このとき、 は に収束する。
このうえで を大きくとり、命題 ウ と後述の命題 オ の漸近分布によみかえます。
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個々のデータ点が独立に同一の分布 にしたがうサイズ の標本 の標本分散 の漸近分布を知りたいです。
教科書 [1] の 27 ページでやっているように、そもそもいま標本分散の漸近分布を求めようとしているわけで、標本分散は定数を足し引きしても不変なので、 という変数変換をして同じ議論を進めればよい。そうしたら の原点周りの1次モーメントは になるので、単に2変量正規分布 の第2成分の周辺分布になる。このとき の分散共分散行列は の原点周りの 2, 3, 4 次モーメントでかけているはずだけど、それって の 周りの 2, 3, 4 次モーメントに他ならない。
あとまあ、 がしたがう分布を真っ向から求めようとしてもできる。 の特性関数が の特性関数でかけることに着目して、あとは分散を計算すればよい。ただ、これでやると分散が原点周りのモーメントの式で出てくるから、 周りのモーメントに直さないと結局意味がわからないんだよね……項がいっぱい出てくるから参考文献 [2] の変換公式に当てはめてほしい……。
そうですか……。
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まとめ
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母分散のカイ2乗検定は母分布が正規分布のときにしか適用できないのですね(実験ノート)。母分布がヘビーテールであるときに無理に同じ枠組みで検定すると、「真の分散は1以下である」という帰無仮説が正しいのに棄却してしまう確率が有意水準を超えています。
これは困るわけです。例えば……私はねじを生産する工場を経営しているとしましょう。私は日々生産されたねじが均一であるか検査します。「ねじの外径の分散が基準値以下である」という帰無仮説が棄却されたら、製造機械に不具合が生じているとしてメンテナンスするものとします。しかしここで、生産されるねじの外径の分布が正規分布でないならば、帰無仮説を誤って棄却し、過剰な回数メンテナンスすることになる恐れがあります……メンテナンスコストを必要十分に抑えるために、母分布が正規分布でなくとも母分散を検定することはできないのでしょうか?
が大きい場合を考えよう。中心極限定理を利用することはできないかな?
でも って、 という 個の観測の平均である を「連続関数」で変換したものだよね?
そうなんだよね。だから、真の平均の周りでテイラー展開できないかな。
テイラー展開ですって……?