Rによるベイジアン動的線型モデル： ノート6

本読み DLM

読んでいる本（出典）： Rによるベイジアン動的線形モデル (統計ライブラリー) | G.ペトリス, S.ペトローネ, P.カンパニョーリ, 和合 肇, 萩原 淳一郎 | 本 | Amazon.co.jp

前回：ノート5 ／ 次回：ノート7
目次：Rによるベイジアン動的線型モデル

今日読んだページ： 39～56ページ
以下、自分の感想、演習。

  • 「2.4 動的線型モデル（41ページ）」の冒頭、観測値が m 次元と本文に明記がなかったので。数式から明らかなのでいいけど。
  • 「（問2.1 と 2.2 を参照）（41ページ）」とあるので、問2.1 と 2.2（84ページ）をやってみる。
    • \pi(w_t|y_{1:t-1}) = \pi(w_t|\theta_0, w_{1:t-1}, v_{1:t-1}) = \pi(w_t|w_{1:t-1}) = \pi(w_t)
      • 1つ目の等号： y_{1:t-1} が所与というのは \theta_0, w_{1:t-1}, v_{1:t-1} が所与なのと同値。
      • 2つ目の等号： 前提条件より、 (v_t) は (w_t) と独立で、 \theta_0 も (w_t) と独立。
      • 3つ目の等号： (w_t) 自体も、各時点の分散行列が既知のガウス型確率ベクトルなので、系列内相関はない。
    • \pi(w_t|\theta_{1:t-1}) = \pi(w_t|\theta_0, w_{1:t-1}, v_{1:t-1}) = \pi(w_t|w_{1:t-1}) = \pi(w_t)
      • 1つ目の等号： \theta_{1:t-1} が所与というのは \theta_0, w_{1:t-1}, v_{1:t-1} が所与なのと同値。
      • 2つ目の等号と3つ目の等号は上に同じ。
    • \pi(v_t|y_{1:t-1})=\pi(v_t) と \pi(v_t|\theta_{1:t-1})=\pi(v_t) の証明も同様なので略。
    • 次に (\theta_t) がマルコフ連鎖であることを示すには、 \pi(\theta_t|\theta_{1:t-1})=\pi(G_t\theta_{t-1}+w_t|\theta_{1:t-1})=\pi(G_t\theta_{t-1}+w_t|\theta_{t-1})=\pi(\theta_t|\theta_{t-1})
      • 1つ目の等号は定義式より、2つ目の統合はさっき示した \pi(w_t|\theta_{1:t-1}) = \pi(w_t) より、G_t\theta_{t-1}+w_t は結局 \theta_{1:t-2} に依存しないので条件から外せる。
    • 最後に \theta_t が与えられた下で Y_t が独立かについては、 \pi(y_t|\theta_t, y_{1:t-1})=\pi(F_t \theta_t + v_t|\theta_t, \theta_0, w_{1:t-1}, v_{1:t-1})=\pi(F_t \theta_t + v_t|\theta_t)=\pi(y_t|\theta_t)
      • 1つ目の等号は | の左側を定義式に、右側を y_{1:t-1} が所与と同値な条件へ置き換え。
      • 2つ目の等号は、 \theta_t が所与なので結局 v_t と（ \theta_t 以外の）各条件の依存性を確認して、独立なものは全部外せる（→ 依存するものがないので全部外せる）。
  • あとは dlm パッケージのイントロダクション、一般状態空間モデルのフィルタ、DLMのカルマン・フィルタまでで、特に疑問点はなし。
    • 「（前略）（ V や W の値を変えて、 Y_t の軌跡をいくつかシミュレーションしてみるのはよい演習となろう）（56ページ）」： これは時間があればやりたい。

演習問題の回答はこんな感じでいいのだろうか。