Rによるベイジアン動的線型モデル：ノート13

読んでいる本（出典）： Rによるベイジアン動的線形モデル (統計ライブラリー) | G.ペトリス, S.ペトローネ, P.カンパニョーリ, 和合肇, 萩原淳一郎 | 本 | Amazon.co.jp

今日読んだページ： 96～101ページ
以下、自分の解釈・感想。

その前に：いまローカルレベル・モデルや線型成長モデルを復習しているのはどんな文脈だったかというと、
- DLM を使用するにあたってはモデルをお膳立てしてやらないといけない。
- トレンド（長期的な水準の変化）、季節成分、変数どうしの相関など個々の特徴を表現できるものを組み合わせるのが1つの方法。
- そこでまずトレンドをもつモデルはどんなものか考える。

ノート11に書いていたこと：

トレンドモデル：トレンドを表現できるモデル。読んで字のごとく。

k 期先予測を k の関数として予測関数というらしい。

90ページ最後～91ページ最初の記述が呑み込めていないけど、状態の次元を増やせばどんな予測関数でも多項式にできるということみたい（？）。

だからどうというのがちょっとわからなかった。モデルを考えるときに「予測関数を多項式にしたいから状態変数いっぱい増やそう」ということにはならないと思うし。直後に「実際には小さな値にする」と書いて思い切り軌道修正はされているけど。

だからどうというのは、多項式モデルでトレンドをあらわせるよ、ということ。ので上の記述は踏み外しすぎ。
誤：「予測関数を多項式にしたいから状態変数いっぱい増やそう」
正：「トレンドを表現したいから予測関数がわかる多項式モデルを導入しよう」

今日の本読みに戻ると、96ページからは線型成長モデル（2次の多項式モデル）。
- 線型成長モデルは常に可観測で、しかるべき条件を満たせば可制御。
- そして ARIMA(0,2,2) の気持ちを受け継いでいる。

異なるモデルの性能比較には、2乗誤差の平均の比較などの他に、Theil's U という指標もある。
- Uncertainty coefficient - Wikipedia, the free encyclopedia

n階の多項式モデルにおいて、システム誤差行列が対角成分の最後の1つを除いてゼロである場合、和分ランダムウォーク・モデルという。98～100ページの例では線型成長モデルと予測性能に差はなかったが、場合によってはこちらが適当な場合も、不適当な場合もある。

多項式モデルに関連して、演習問題 3.6（145ページ）をやっておく。

次数 n の多項式モデルの予測関数は、n-1 次の多項式となることを示せ。

n 階の多項式モデルの一般形は101ページ参照。
$f_t(k) = Fa_t(k) = FG^ka_t(0) = FG^km_t$ （∵ 命題 2.6）
$G= I_n + A_n$ とおく。 $A_n^l = O_n \, ({\rm for} \, \, l \geqq n)$ である（証明略）。
よって、 $G^k \, = (I_n + A_n)^k = I_n + {}_k C _1 A_n + {}_k C _2 A_n^2 + \dots + {}_k C _{n-1} A_n^{n-1}$
　　　　　　 $\displaystyle = I_n + k A_n + \frac{k(k-1)}{2} A_n^2 + \dots + \frac{k(k-1)\dots(k-n+2)}{(n-1)!} A_n^{n-1}$
なので $f_t(k)$ は $n-1$ 次の多項式となる。