雑記 - クッキーの日記

確率論セミナーの発表準備
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ひっかかったのが13ページの例題1.2 (ii)

確率ベクトル $X(\omega)$ に対して $\|EX\| \leqq E\|X\|$ を示せ。
ヒント： $0 \leqq E(\|X-EX\|^2) = E(\|X\|^2) - \|EX\|^2$

日本語に訳すと「確率ベクトルの平均ベクトルの長さは、長さの平均以下」
例えば2次元の場合、出現するベクトルが全部 (1, 0) の正の実数倍なら明らかに等号成立するけど
別の向きのベクトルが混じっていたら平均ベクトルの方が短くなりそう（三角不等式）

証明すべき式を定義に立ち戻って書くとこう
$\displaystyle \left\| \sum_{\omega \in \Omega } X(\omega) P(\{\omega\}) \right\| \leqq \sum_{\omega \in \Omega } \|X(\omega) \| P(\{\omega\})$

最初の1個の見本点のみ含む部分集合 $A_1=\{\omega_1\}$ だったらこの不等式は成り立つ（等号が）
最初の2個の見本点のみ含む部分集合 $A_2=\{\omega_1, \omega_2\}$ でも成り立つ（三角不等式）
$\| X(\omega_1) P(\{\omega_1\}) + X(\omega_2) P(\{\omega_2\}) \| \leqq \| X(\omega_1) \| P(\{\omega_1\}) + \| X(\omega_2) \| P(\{\omega_2\})$
最初の3個の見本点のみ含む部分集合 $A_3=\{\omega_1, \omega_2, \omega_3\}$ だったら、
$\| X(\omega_1) P(\{\omega_1\}) + X(\omega_2) P(\{\omega_2\}) + X(\omega_3) P(\{\omega_3\}) \|$
　　　 $\leqq \| X(\omega_1) P(\{\omega_1\}) + X(\omega_2) P(\{\omega_2\}) \| + \| X(\omega_3) \| P(\{\omega_3\})$
　　　 $\leqq \| X(\omega_1) \| P(\{\omega_1\}) + \| X(\omega_2) \| P(\{\omega_2\}) + \| X(\omega_3) \| P(\{\omega_3\})$

最初の $n$ 個の見本点のみ含む部分集合 $A_n=\{\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n\}$ で成り立つと仮定する
$\displaystyle \left\| \sum_{\omega \in A_n } X(\omega) P(\{\omega\}) \right\| \leqq \sum_{\omega \in A_n } \|X(\omega) \| P(\{\omega\})$
最初の $n+1$ 個の見本点のみ含む部分集合 $A_{n+1}=\{\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n, \omega_{n+1}\}$ でも成り立つ
$\displaystyle \left\| \sum_{\omega \in A_{n+1} } X(\omega) P(\{\omega\}) \right\| \leqq \left\| \sum_{\omega \in A_n } X(\omega) P(\{\omega\}) \right\| + \|X(\omega_{n+1}) \| P(\{\omega_{n+1}\})$
　　　 $\displaystyle \leqq \sum_{\omega \in A_{n+1} } \|X(\omega) \| P(\{\omega\})$