読んでいる本(出典): 数理論理学 | 戸次 大介 |本 | 通販 | Amazon
以下、第5章後半の自分の理解。
最後の節(標準形)がまだ読めていないので、後でこの記事に加筆するか、新しい記事にまとめる。
- 命題論理では扱えない「すべての について~」「ある が存在して~」のような知見を表現すべく、論理式を名前と述語に分けます。
- や といった量化子を導入します。
- 論理式がすごい増えてしまいそうですが、自然数で番号付けできます(ゲーデル数)。
- 但し、論理式のパーツになる記号の集合 は高々可算集合とする。
- 命題論理のときと同様、「 論理式の集合 真偽の領域 」であるような解釈 を考える。
命題論理のときは、 は「原子命題の真偽の組合せの全パターン」ということで 原子命題の数 個あった。
一方、一階述語論理では原子命題がさらに項と述語に分かれるので、「各項が指し示しているもの」「各述語について、項が指し示しているものに対応する、論理式の真偽」として考えるのがよい(構造 )。
あと変項もあるので、変項に何を割り当てたかも論理式の真偽にかかわる(割り当て )。
つまり、ある1つの解釈 を与えるには、以下を完全に決めればよい。- そもそもどんなものたちについて命題を述べるのか(存在物)の集合:
- 名前記号が指す存在物は何か:
- 個の存在物に項演算子を適用したときに指す存在物は何か:
- 個の存在物に項述語を適用したときの真偽はどうか:
- 変項に何を割り当てたか:
をダンガンロンパのキャラクターの構造とすると、苗木誠, 舞園さやか, 桑田怜恩, 。
名前記号から存在物への対応付けは例えば、 苗木誠 , 舞園さやか , 。
例えば が「 を殺した犯人」のような1項演算子なら、 舞園さやか 桑田怜恩 。
例えば が「 は を殺した」のような2項述語なら、 苗木誠, 舞園さやか 。
このように、各名前記号が指す存在物、各項演算子が指す存在物(項が指す存在物による)、各項述語の
真偽(項が指す存在物による)を完全に決めれば、この論理体系のすべての基本述語の真偽は完全に決まる。
※ ここで、「桑田怜恩が舞園さやかを殺したから 舞園さやか 桑田怜恩」ということではなく、
あくまで という1項演算子をこの写像で定義したということに注意。
※ ただ、 が本当に「 を殺した犯人」になるように定義されていて、 が本当に「 が
を殺した」かどうかを表すように定義されているなら、 はどの解釈でも真になりそう。
殺されていないキャラクターを代入したときの取り扱いは適切にする必要があるけど。
他方、別の解釈の下では、論理体系にはスーパーダンガンロンパ2のキャラクターの構造 が当てはめられて
いるかもしれない。日向創, 七海千秋, 。
この場合の名前記号の対応付けは例えば、 日向創 , 七海千秋 , かもしれない。
- 量化論理式 の真偽を解釈するには、 への割り当てをすべての存在物に変異させる(というより、これが という論理式の定義そのものである)。
- すべての について である.
- となる が存在する.
- 解釈について、以下が成り立つ。
- その変項が項/論理式の自由変項でないなら、その変項を変異させても項が指す存在物/論理式の真偽は変わらない。
- 項/論理式の変項にある項を代入した上で解釈しても、解釈の割り当ての変異によって変項をある項に変えても、どちらの場合も項が指す存在物/論理式の真偽は変わらない。
- 項 と が指す存在物が同じなら、項/論理式の変項を に変異させても に変異させても項が指す存在物/論理式の真偽は変わらない(外延性)。
- 意味論的含意の概念は一階命題論理のときと同じ。
- 量化論理式が推論の前提 or 帰結になる場合に色々な定理が成り立つ。
項述語に渡せる項のセットのパターン数は、 パターンある。
それぞれのパターンが1か0を取りうるので 項述語は 種類ありうる。
例えば、 で、 だったら、項述語 は16種類ある。
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | ||
1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
- 「奇数の二乗は奇数である」は真だが、 奇数 奇数 は、 に例えば を割り当てたとき偽。
- 「二乗が奇数であるような奇数が存在する」は真で、 奇数 奇数 も真だが、前者は を割り当てると偽で、後者は を割り当てても真(というか後者はどんな数を割り当てても真)。
を証明するには、二重否定律より なので、これに量化論理式の置き換えを用いて 。これと に対し複合論理式の置き換えを適用。
- 「 は哺乳類である」「 は卵生である」の変項 に「友達の鈴木君」を割り当てる(98ページ): 確かに友達の鈴木君は哺乳類だし、卵生ではないけど、鈴木君的には友達からの扱いが「哺乳類の一個体」でいいのだろうか…。
- 集合における外延性は、「集合はそれが含む要素によって一意に定まる」。外延性の公理 - Wikipedia
一階述語論理の解釈の外延性(定理5.64)は、「論理式の真偽は項が指す存在物によって一意に定まる」。当たり前に感じられすぎてよくわからない。「定義されたこと以外は知らないふりをする《知らないふりゲーム》」(数学ガール ゲーデルの不完全性定理の31ページ)は、こと「ある論理式が真か偽か」については経験がありすぎるので難しい。 - ラムダ計算(114ページ)って何。