確率論セミナー(26.5)： 予習メモ

確率論 勉強会

Skype数学勉強会 確率論セミナー の予習メモ
読んでいる本（現在はサブテキスト）： はじめての確率論 測度から確率へ : 佐藤 坦 : 本 : Amazon

読んだ範囲： 15～17ページ
演習問題をやっておかないといけないので2節の最後まで読むメモ。

  • 関数族 \mathfrak{X} から生成された \Omega 上の \sigma-集合体 \sigma[\mathfrak{X}]： 以下の \mathcal{A} [\mathfrak{X}] から生成された \Omega 上の \sigma-集合体。
    　 \mathcal{A} [\mathfrak{X}] \equiv \{ X^{-1}(A) \; | \; A \in B_1, \; X \in \mathfrak{X} \} 　（ここで B_1 は1次元ボレル集合体）
    つまり、 \mathcal{A} [\mathfrak{X}] は1次元ボレル集合体の元 A の X \in \mathfrak{X} による逆像の集合。 A も X も動き回るので注意。
  • 定理2.2： 「距離空間 E 上の連続関数全体 \mathcal{C}(E) から生成された E 上の \sigma-集合体 \sigma[\mathcal{C}(E)]」は「 E 上のボレル集合体 \mathcal{B}(E)」に他ならない。
    • \sigma[\mathcal{C}(E)] \subset \mathcal{B}(E) の証明の方針：
      • ① \{ f^{-1}(A) \; | \; A \in B_1, \; f \in \mathcal{C}(E) \} \subset \mathcal{B}(E) をいう。 → ② \sigma[\mathcal{C}(E)] の最小性をつかう。
      • ① は ①' B_1 \subset \{A \; | \; A \in B_1, \; f^{-1}(A) \in \mathcal{B}(E), \; f \in \mathcal{C}(E) \} といっても同じ。
        どちらも、 \forall A \in B_1 の \forall f \in \mathcal{C}(E) による逆像は \mathcal{B}(E) の元だといっている。
      • ①' B_1 \subset \{A \; | \; A \in B_1, \; f^{-1}(A) \in \mathcal{B}(E), \; f \in \mathcal{C}(E) \} をいうのには、 \{A \; | \; A \in B_1, \; f^{-1}(A) \in \mathcal{B}(E), \; f \in \mathcal{C}(E) \} が \mathbb{R} の任意の開部分集合を含む \sigma-集合体であるといえれば、 B_1 の最小性からいえる。
        \mathbb{R} の任意の開部分集合 G について f^{-1}(G) \in \mathcal{B}(E) であることは、 f^{-1}(G) が E の開部分集合であることからいえる（∵ f の連続性）。 \sigma-集合体であることは、補集合と逆像が交換すること、逆像と和集合が交換することをつかうといえる。
    • \mathcal{B}(E) \subset \sigma[\mathcal{C}(E)] の証明の方針：
      • ① E の開部分集合全体 \subset \sigma[\mathcal{C}(E)] をいう。 → ② \mathcal{B}(E) の最小性をつかう。
      • ① は ①' E の閉部分集合全体 \subset \sigma[\mathcal{C}(E)] をいっても同じ。
      • ①' をいうには E の任意の閉部分集合 F について f_F(F) \in B_1 であるような連続関数 f_F が存在してほしい。→ 以下のような f_F を定義すれば f_F は連続関数であって f_F(F) = \{0\}。
        　 \displaystyle f_F(x) \equiv \inf_{y \in F} d(x, y)
  • 直積 \sigma-集合体： 可測空間 (\Omega_k, \mathcal{B}_k)\;, \; k=1,2,\cdots,n があったときに \mathcal{B}_1, \mathcal{B}_2, \cdots, \mathcal{B}_n の直積から生成される \Omega_1 \times \Omega_2 \times \cdots \times \Omega_n 上の \sigma-集合体のことを「 \mathcal{B}_1, \mathcal{B}_2, \cdots, \mathcal{B}_n の直積 \sigma-集合体」といい、 \mathcal{B}_1 \times \mathcal{B}_2 \times \cdots \times \mathcal{B}_n とかく。
    • そうかいたら \mathcal{B}_1, \mathcal{B}_2, \cdots, \mathcal{B}_n の直積にしか見えないんですがなんでそういう表記にしたんですかね。
    • そのせいで補題2.5の証明の2行目でつまづいたんですが。

ここまで3ページ読んで気付いたけど17ページの節末問題この3ページの内容何一つつかわなかった。