雑記

以下のファイルで、最後の式とその一つ前の式の間が埋まっていない。
20230108_variance.pdf - Google ドライブ

そもそも教科書 27 ページでは、式 (1) (2) からただちに結論が導かれるといった感じにみえる。
ただ、このページは「定理」「補題」ではなく「例」なので、完全な証明はしない(まだできない)が例を挙げただけ、ということなのかもしれない。実際、後で気付いたが後ろの方の章(21 章;「パーセンタイルの弱収束」なる概念が定義されている)の補題を前提にすれば示せそうだった。

さておき、考えた解き方が以下の補題1~3を用いる方法である。無駄に遠回りをしている気がしてならない。

補題1

分布収束の収束先が連続分布であるであるならば、分布関数は一様収束する。
教科書の補題 2.11 であり、以下の記事の下の方で示している。
収束先が連続分布であるときの分布収束

補題2

一様収束するなら以下の論法でパーセンタイルの収束をいえる。

補題3

パーセンタイルも収束するのであれば結論は導かれるはずである(図)。