確率論セミナー(21, 22)：参加メモ

Skype数学勉強会確率論セミナーの参加メモ
読んでいる本（現在はサブテキスト）：はじめての確率論測度から確率へ : 佐藤坦 : 本 : Amazon

21回で読んだ範囲： 176～179ページ
22回で読んだ範囲： 179～182ページ
記事タイトルのカッコ内の数字は、ウィキに合わせて休講もカウントした回数にしました。
以下申し訳程度のメモ。

21回メモ

命題 15.2： $A = \emptyset$ のときが不明。
補題 15.2： $G = \emptyset$ のとき成り立たない（ $G_l$ を1つもつかわなければいいだけだけど）。
179ページの4行目の最初は $\mathbb{R}^d$ ではなくて $G$ の誤植。

22回メモ

コンパクト：ある部分列が収束する。
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理 - Wikipedia
182ページ3行目も誤植。

例題15.4の部分列の取り方

$\displaystyle \liminf_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \inf_{k > n} x_k$

帰納的に単調増大数列 $m(i)$ を定義して、 $x_{m(i)}$ が収束するようにする。
まず $i=1$ に対して、 $\displaystyle \inf_{k > 1}$ の定義から、ある $m(1) > 1$ が存在して
　 $\displaystyle \inf_{k > 1} x_k ≦ x_{m(1)} < \inf_{k > 1} x_k + 10^{-1}$
をみたす。
次に、 $i≧1$ に対して $m(i)$ まで定義できているとき、 $m(i+1)$ を次のように定める。
$\displaystyle \inf_{k > m(i)}$ の定義から、ある $m(i+1) > m(i)$ が存在して
　 $\displaystyle \inf_{k > m(i)} x_k ≦ x_{m(i+1)} < \inf_{k > m(i)} x_k + 10^{-(i+1)}$
をみたす。
こうして単調増大列 $m(i)$ を得る。

こうすると、
　 $\displaystyle \inf_{k > m(i)} x_k ≦ x_{m(i+1)} < \inf_{k > m(i)} x_k + 10^{-(i+1)}$
が常に成り立つので、 $\displaystyle \lim_{i \to \infty}$ を取り、
　 $\displaystyle \liminf_{i \to \infty} x_{m(i)} ≦ \lim_{i \to \infty} x_{m(i+1)} ≦ \liminf_{i \to \infty} x_{m(i)} + \lim_{i \to \infty} 10^{-(i+1)} = \liminf_{i \to \infty} x_{m(i)}$
となるので、
　 $\displaystyle \lim_{i \to \infty} x_{m(i)} = \liminf_{i \to \infty} x_{m(i)}$
となる。（はさみうちの原理）