確率論セミナー(9, 10)：参加メモ, 不参加メモ

Skype数学勉強会確率論セミナーの9回目に参加したメモ & 10回目に参加できなかったメモ
読んでいる本：確率論 (岩波基礎数学選書) | 伊藤清 | 本 | Amazon.co.jp

前回：メモ8 ／次回：メモ11
目次：確率論(岩波基礎数学選書)

読んだ範囲： 20～26ページ（第9回）& 26～28ページ（第10回）

20～25ページの樹形結合は前回のメモ参照。
26ページから条件付確率。
- 状態空間モデルにおける条件付確率を思い出すと、究極的には $\pi(y)$ を知りたい。ただ、 $\pi(y)$ をいきなり求めるのはしんどかったり、 $y$ が生み出されるシステムの構造上、観測できない状態 $\theta$ を介して事前分布と尤度の積 $\pi(\theta)\pi(y|\theta)$ を考える方がよい。やることは次々に届く観測値を組み入れて事後分布 $\pi(\theta|y)$ を更新していくこと。
- とすると（は固定）も上の確率測度になる。
  - $\Omega$ を $A$ でフィルタした世界にするようなイメージ。
    例えば、日本人を「A：自分名義の車をもっている」日本人にフィルタしたら統計は変わってくるだろう。後者の世界では運転免許をもっている確率がほぼ100%だろうし（車をもっていて免許をもっていない人は、免許の返納と順番が前後した高齢者でなければ何がしたいのかよくわからない）、小学校に通っている確率は0だろう（車をもっている小学生…いないよね…いるかもしれないけど…）。
というのも考えられる。例えば、その日本人が歳と知らされたもとで、県民である確率。
何歳であろうと東京都民である確率が最も高い気がするけど、高齢者層の方が東京密集度は低そう。知らないけど。
- $x$ の方を固定するとこれは $\Omega$ 上の確率測度（28歳の日本人にフィルタした上で何県民かという確率）。
- $B$ の方を固定するとこれは $\Omega^X$ 上の関数（0以上の整数 $x$ を、 $x$ 歳という条件の下で愛知県民である確率 $0 \leqq p \leqq 1$ に写像する）。
- $B$ を固定して $\omega$ の関数と解釈すると、 $(\Omega, P)$ 上の確率変数。つまり、ある日本人を、「その人の年齢という条件の下で愛知県民である確率」へ写像する。その人は愛知県民でなくてもいい。
定理 1.13：次の3つはイコール。3つ目がちょっとわかりにくいけどよく考えると2つ目と同じ。
- ある日本人が愛知県民であってかつ20代である確率。
- （20歳である確率）×（20歳である条件の下で愛知県民である確率）
  ＋（21歳である確率）×（21歳である条件の下で愛知県民である確率）
  ＋・・・
  ＋（29歳である確率）×（29歳である条件の下で愛知県民である確率）
- ある日本人を、「その人の年齢という条件の下で愛知県民である確率」へ写像するような確率変数 $X$ の「20代の日本人」上の期待値。
$E(Y|A)$ も考えられる。Ex. 車をもっている日本人が、過去1年にガソリンを何リットル購入したかの平均値。
$E(Y|X=x)$ も考えられる。Ex. 車を $x$ 台もっている日本人が、過去1年にガソリンを何リットル購入したかの平均値。
定理 1.14：次の4つはイコール。自分の例が如実に苦しくなってきている。
- 「靴を何足もっているか」という Ω（日本人）上の確率変数の、「20代の日本人」上の期待値。
- （20歳である確率）×（20歳の人が靴を何足もっているかの期待値）
  ＋（21歳である確率）×（21歳の人が靴を何足もっているかの期待値）
  ＋・・・
  ＋（29歳である確率）×（29歳の人が靴を何足もっているかの期待値）
- 「x歳の日本人が靴を何足もっているかの期待値」という Ω^X（0以上の整数）上の確率変数の、「20≦x≦29」上の期待値。
- 「その人と同じ年齢の日本人が靴を何足もっているかの期待値」という Ω（日本人）上の確率変数の、「20代の日本人」上の期待値。
も考えられて、確率測度であっての関数。
- $Y$ が都道府県（愛知県）で、 $F$ が地方（中部地方）と考える。
- 「ある日本人の星座が $A$ 座という条件の下での、 $F$ 地方の住民である確率」は「 $\Omega$ ：日本人」上の確率測度であって、地方から実数への写像でもある。
- 「 $\Omega^Y$ ：都道府県」上の確率測度 $P^Y(F|A)$ ともかける。
$P(Y \in F|X=x)$ も考えられる。2月6日生まれの人が $F$ 地方の住民である確率。
$P(Y \in F|X)$ も考えられる。誕生日が $X$ の人が $F$ 地方の住民である確率。

Q. サンダルは靴に入りますか。
A. 自分で決めてください。