弱定常過程でかつ正規過程(ガウス過程)であったら(強)定常過程である理屈のメモ:
(強)定常過程の定義(Wikipedia より)
確率過程
が時刻
にとる値の同時分布の累積確率分布
が任意の
、
に対して次式を満たすならば
は(強)定常過程である。
弱定常過程の定義(Wikipedia より)
連続時間の確率過程
が以下の 1. と 2. を満たすならば、
は弱定常過程である。
1.![E[x(t)]=m_x(t)=m_x(t + \tau) \, \, {\rm for \, \, all \, \, } \tau \in \mathbb{R}](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=E%5Bx%28t%29%5D%3Dm_x%28t%29%3Dm_x%28t%20%2B%20%5Ctau%29%20%5C%2C%20%5C%2C%20%7B%5Crm%20for%20%5C%2C%20%5C%2C%20all%20%5C%2C%20%5C%2C%20%7D%20%5Ctau%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D)
2.![E[\bigl(x(t_1)-m_x(t_1)\bigr)\bigl(x(t_2)-m_x(t_2)\bigr)]=C_x(t_1, t_2)=C_x(t_1 + \tau, t_2 + \tau) \, \, {\rm for \, \, all \, \, } \tau \in \mathbb{R}](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=E%5B%5Cbigl%28x%28t_1%29-m_x%28t_1%29%5Cbigr%29%5Cbigl%28x%28t_2%29-m_x%28t_2%29%5Cbigr%29%5D%3DC_x%28t_1%2C%20t_2%29%3DC_x%28t_1%20%2B%20%5Ctau%2C%20t_2%20%2B%20%5Ctau%29%20%5C%2C%20%5C%2C%20%7B%5Crm%20for%20%5C%2C%20%5C%2C%20all%20%5C%2C%20%5C%2C%20%7D%20%5Ctau%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D)
1.
2.
ガウス過程であって弱定常過程であったら、
- 弱定常過程なので
の平均は時刻によらず一定。なので、多次元正規分布
と
の平均ベクトルは同じ(つまり、どちらも
)。
- 弱定常過程なので
の分散は時刻によらず一定で、共分散は時間差にのみ依存する。だから、多次元正規分布
と
の分散共分散行列も同じ。
- よって、多次元正規分布
と
は同じ。
- 任意の時間ずらしても同時分布が同じなので
は定常過程。
なんで日本語 Wikipedia には定常過程の数式的定義がないんだろう
tex記法 {\bf hoge} で太字にならなかった