弱定常過程

雑記

弱定常過程でかつ正規過程（ガウス過程）であったら（強）定常過程である理屈のメモ：

（強）定常過程の定義（Wikipedia より）

確率過程 \{X_t\} が時刻 t_1 + \tau, \dots, t_k + \tau にとる値の同時分布の累積確率分布 F_X(x_{t_1 + \tau}, \dots, x_{t_k + \tau}) が任意の k、 \tau に対して次式を満たすならば \{X_t\} は（強）定常過程である。
F_X(x_{t_1 + \tau}, \dots, x_{t_k + \tau})=F_X(x_{t_1}, \dots, x_{t_k})

弱定常過程の定義（Wikipedia より）

連続時間の確率過程 x(t) が以下の 1. と 2. を満たすならば、x(t) は弱定常過程である。
1.　E[x(t)]=m_x(t)=m_x(t + \tau) \, \, {\rm for \, \, all \, \, } \tau \in \mathbb{R}
2.　E[\bigl(x(t_1)-m_x(t_1)\bigr)\bigl(x(t_2)-m_x(t_2)\bigr)]=C_x(t_1, t_2)=C_x(t_1 + \tau, t_2 + \tau) \, \, {\rm for \, \, all \, \, } \tau \in \mathbb{R}

ガウス過程の定義（Wikipedia より）

確率過程 \{X_t\} が任意の時刻集合 \{t_1, \dots, t_k\} にとる値 \{X_{t_1}, \dots, X_{t_k}\} の同時分布が多次元正規分布にしたがうならば \{X_t\} はガウス過程である。

ガウス過程であって弱定常過程であったら、

  • 弱定常過程なので X_t の平均は時刻によらず一定。なので、多次元正規分布 f_X(x_{t_1 + \tau}, \dots, x_{t_k + \tau}) と g_X(x_{t_1}, \dots, x_{t_k}) の平均ベクトルは同じ（つまり、どちらも \vec{\mu}=(\mu, \dots, \mu)^{\rm T}）。
  • 弱定常過程なので X_t の分散は時刻によらず一定で、共分散は時間差にのみ依存する。だから、多次元正規分布 f_X(x_{t_1 + \tau}, \dots, x_{t_k + \tau}) と g_X(x_{t_1}, \dots, x_{t_k}) の分散共分散行列も同じ。
  • よって、多次元正規分布 f_X と g_X は同じ。
  • 任意の時間ずらしても同時分布が同じなので \{X_t\} は定常過程。

なんで日本語 Wikipedia には定常過程の数式的定義がないんだろう
tex記法 {\bf hoge} で太字にならなかった