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確率論セミナー(2/2, 2/23): 不参加メモ

Skype数学勉強会 確率論セミナー に参加できなかったメモ
読んでいる本(現在はサブテキスト): はじめての確率論 測度から確率へ : 佐藤 坦 : 本 : Amazon
前回: 確率論セミナー(51): 不参加メモ - クッキーの日記

参加できなかった回に進んだページ: 60~65ページ
以下雰囲気で書いたメモ

  • ルベーグ積分のつよいところ
    • いろんな関数が積分できる
    • lim と積分が多くの場合で交換する(リーマン積分はあまり交換しない)
  • じゃあどんな場合に lim と積分が交換するのか → 以下の3ステップで考える
    • まずは限定的な条件で lim と積分が交換することを示す―単調収束定理
      • 非負可測関数列がほとんどいたるところ単調増大していてかつ lim が有限でかつその積分値も有限なときは lim と積分が交換する
    • 一般の非負可測関数列で lim と積分を交換したときの不等式の関係をおさえる―ファトゥの補題
      •  E[\lim \inf _{n \to \infty} X_n ] \leq \lim \inf _{n \to \infty} E[ X_n ]\{X_n\} は非負可測関数列)
    • 特定の条件下で lim と積分が交換することを示す―ルベーグ収束定理(優収束定理)
      • 概収束する可測関数列 \{X_n\} の絶対値の sup がほとんどいたるところにおいて積分可能な非負可測関数でおさえられるとき lim と積分が交換する

確率論ではとにかく期待値をとりたい(積分をしたい)
どんな場合に期待値がとれるか知りたいので lim と積分がどんな場合に交換するかは重要