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確率論セミナー(25): 参加メモ

確率論 勉強会

Skype数学勉強会 確率論セミナー の参加メモ
読んでいる本(現在はサブテキスト): はじめての確率論 測度から確率へ : 佐藤 坦 : 本 : Amazon

今日読んだ範囲: 1~10ページ
記事タイトルのカッコ内の数字は、ウィキに合わせて休講もカウントした回数にしました。

  • サブテキストの巻末の付録を先に読んだけど今日から最初のページに戻ってきた。
  • 確率から測度へ:
    • コインを  n 回投げて表の出た回数を  S_n 回とすると  \lim _{n \to \infty} S_n/n = 1/2 になってほしい。
      でも  S_n n の関数ではない。この  \lim って何。
    • 中心極限定理によると、無限回試行したとき、確率変数がある範囲になる確率が標準正規分布のある範囲積分したやつになる。この確率って何。
    • 「コインを無限回投げて最初の2回続けて表がでる確率」は 1/4 であってほしいけど要素の個数でやっていると 1/4 は出せない。どうすればいいのか。
  • 見本空間  \Omega が無限集合であってもいい。ただ、  \Omega の部分集合すべてに確率が定義できるとは限らない。 \Omega の部分集合であって確率が定義できるものとはどういうものか考えていきたい。
  •  \sigma-集合体:  \Omega の部分集合族  \mathcal{B} が以下を満たすなら  \mathcal{B} \Omega 上の  \sigma-集合体。
    •  \Omega \in \mathcal{B}
    •  A \in B \Rightarrow A^{C} \in \mathcal{B}
    •  A_1, A_2, A_3, \cdots \in \mathcal{B} \Rightarrow A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots \in \mathcal{B}(ただし可算無限個の集合列)
  •  \Omega 上の  \sigma-集合体の例: いろいろある。
    •  \mathcal{B} \equiv \{ \emptyset, \, \Omega \}
    •  \mathcal{B} \equiv \{ A \subset \Omega \, | \, A または  A^C が高々可算集合  \}
      •  \emptyset \in \mathcal{B} \Rightarrow \emptyset^C = \Omega \in \mathcal{B}
      •  A が高々可算であって  \mathcal{B} の元の場合も、 A が非可算で  \mathcal{B} の元の場合も、 A^C \in \mathcal{B}
      •  A_1, A_2, A_3, \cdots がすべて高々可算なら  A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots も高々可算。
        1つでも非可算なら  (A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots)^C が高々可算。
  • 参考ペディア:

このセミナー以外で数学に触れないので完備とかコンパクトとか頭の引き出しからひっぱってくるの時間がかかる。あとバックグラウンドが数学じゃないので、1人で予習すると雰囲気で満足してしまうので発表大丈夫かな。