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確率論セミナー(21, 22): 参加メモ

確率論 勉強会

Skype数学勉強会 確率論セミナー の参加メモ
読んでいる本(現在はサブテキスト): はじめての確率論 測度から確率へ : 佐藤 坦 : 本 : Amazon

21回で読んだ範囲: 176~179ページ
22回で読んだ範囲: 179~182ページ
記事タイトルのカッコ内の数字は、ウィキに合わせて休講もカウントした回数にしました。
以下申し訳程度のメモ。

21回メモ

  • 命題 15.2: A = \emptyset のときが不明。
  • 補題 15.2: G = \emptyset のとき成り立たない(G_l を1つもつかわなければいいだけだけど)。
  • 179ページの4行目の最初は  \mathbb{R}^d ではなくて  G の誤植。

22回メモ

例題15.4の部分列の取り方

 \displaystyle \liminf_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \inf_{k > n} x_k

帰納的に単調増大数列  m(i) を定義して、x_{m(i)} が収束するようにする。
まず i=1 に対して、\displaystyle \inf_{k > 1} の定義から、ある m(1) > 1 が存在して
  \displaystyle \inf_{k > 1} x_k ≦ x_{m(1)} < \inf_{k > 1} x_k + 10^{-1}
をみたす。
次に、i≧1 に対して m(i) まで定義できているとき、m(i+1) を次のように定める。
\displaystyle \inf_{k > m(i)} の定義から、ある m(i+1) > m(i) が存在して
  \displaystyle \inf_{k > m(i)} x_k ≦ x_{m(i+1)} < \inf_{k > m(i)} x_k + 10^{-(i+1)}
をみたす。
こうして単調増大列 m(i) を得る。

こうすると、
 \displaystyle \inf_{k > m(i)} x_k ≦ x_{m(i+1)} < \inf_{k > m(i)} x_k + 10^{-(i+1)}
が常に成り立つので、\displaystyle \lim_{i \to \infty}を取り、
 \displaystyle \liminf_{i \to \infty} x_{m(i)} ≦ \lim_{i \to \infty} x_{m(i+1)} ≦ \liminf_{i \to \infty} x_{m(i)} + \lim_{i \to \infty} 10^{-(i+1)} = \liminf_{i \to \infty} x_{m(i)}
となるので、
 \displaystyle  \lim_{i \to \infty} x_{m(i)} = \liminf_{i \to \infty} x_{m(i)}
となる。(はさみうちの原理)