確率論セミナー(1)：参加メモ

Skype数学勉強会の確率論セミナーに参加させていただいたメモ。
教科書はこれ。

確率論 (岩波基礎数学選書)
伊藤清

岩波書店 1991-05-30
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今日読んだ範囲： 3～5ページ
以下、思ったこととメモがごちゃ混ぜになったもの。

試行、見本空間：自分で例を挙げてみると、「未来のある時点にドル円のレートを確認する（いろいろ曖昧だけど）」という試行なら無限試行になるはず。（どこで買う／売るのかにもよるけど）レートは0.1銭単位とかの離散値だけど、いくらになるかは無限なので（一応）見本空間は無限集合になる。
余事象、和事象、etc.：イメージすると、OCO注文の約定は利益確定と損切りの和事象。このときの利益確定と損切りは排反事象（いうまでもなくこんな例は載っていない）。
確率測度：事象を入れると確率にしてくれる関数 $P$ が確率法則で、これが確率の公理も満たすなら $P$ は確率測度。確率の公理は進研ゼミでやった、じゃなくてこの本でやった。
帰納法は便利。
見本点に対する条件として事象を表現するのは、「ドル円が118円50銭未満になる」のようなイメージ。

例題をやっておく。

確率測度 $P$ に対して以下を証明せよ。 $P \biggl( \displaystyle \bigcup_{i=1}^n A_i \biggr) = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} \sum_{i_1 < \dots < i_k} P \biggl( \displaystyle \bigcap_{\kappa=1}^k A_{i_\kappa} \biggr)$

$n=1$ のとき、成り立つ。 $P \bigl( A_1 \bigr) = P \bigl( A_1 \bigr)$
$n=2$ のとき、成り立つ。 $P \bigl( A_1 \cup A_2 \bigr) = P \bigl( A_1 \bigr) + P \bigl( A_2 \bigr) - P \bigl( A_1 \cap A_2 \bigr)$
$n=3$ のとき、成り立つ。 $P \bigl( A_1 \cup A_2 \cup A_3 \bigr) = P \bigl( A_1 \bigr) + P \bigl( A_2 \bigr) + P \bigl( A_3 \bigr) - P \bigl( A_1 \cap A_2 \bigr) - P \bigl( A_1 \cap A_3 \bigr) - P \bigl( A_2 \cap A_3 \bigr) + P \bigl( A_1 \cap A_2 \cap A_3 \bigr)$
$n=n'$ のとき成り立つと仮定する。
$P \biggl( \displaystyle \bigcup_{i=1}^{n'} A_i \biggr) = \sum_{k=1}^{n'} (-1)^{k-1} \sum_{i_1 < \dots < i_k} P \biggl( \displaystyle \bigcap_{\kappa=1}^k A_{i_\kappa} \biggr)$
のとき、
- 最後の等号が手抜きに過ぎるけど $n'+1$ までの和にするにあたって補充すべき項が補える。