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確率論セミナー(1): 参加メモ

勉強会 確率論

Skype数学勉強会の確率論セミナーに参加させていただいたメモ。
教科書はこれ。

確率論 (岩波基礎数学選書)確率論 (岩波基礎数学選書)
伊藤 清

岩波書店 1991-05-30
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今日読んだ範囲: 3~5ページ
以下、思ったこととメモがごちゃ混ぜになったもの。

  • 試行、見本空間: 自分で例を挙げてみると、「未来のある時点にドル円のレートを確認する(いろいろ曖昧だけど)」という試行なら無限試行になるはず。(どこで買う/売るのかにもよるけど)レートは0.1銭単位とかの離散値だけど、いくらになるかは無限なので(一応)見本空間は無限集合になる。
  • 事象、和事象、etc.: イメージすると、OCO注文の約定は利益確定と損切りの和事象。このときの利益確定と損切りは排反事象(いうまでもなくこんな例は載っていない)。
  • 確率測度: 事象を入れると確率にしてくれる関数  P が確率法則で、これが確率の公理も満たすなら  P は確率測度。確率の公理は進研ゼミでやった、じゃなくてこの本でやった。
  • 帰納法は便利。
  • 見本点に対する条件として事象を表現するのは、「ドル円が118円50銭未満になる」のようなイメージ。

例題をやっておく。

確率測度  P に対して以下を証明せよ。
 P \biggl( \displaystyle \bigcup_{i=1}^n A_i \biggr) = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} \sum_{i_1 < \dots < i_k} P \biggl( \displaystyle \bigcap_{\kappa=1}^k A_{i_\kappa} \biggr)

  •  n=1 のとき、成り立つ。  P \bigl( A_1 \bigr) = P \bigl( A_1 \bigr)
  •  n=2 のとき、成り立つ。  P \bigl( A_1 \cup A_2 \bigr) = P \bigl( A_1 \bigr) + P \bigl( A_2 \bigr) - P \bigl( A_1 \cap A_2 \bigr)
  •  n=3 のとき、成り立つ。  P \bigl( A_1 \cup A_2  \cup A_3 \bigr) = P \bigl( A_1 \bigr) + P \bigl( A_2 \bigr) + P \bigl( A_3 \bigr) - P \bigl( A_1 \cap A_2 \bigr) - P \bigl( A_1 \cap A_3 \bigr) - P \bigl( A_2 \cap A_3 \bigr) + P \bigl( A_1 \cap A_2 \cap A_3 \bigr)
  •  n=n' のとき成り立つと仮定する。
     P \biggl( \displaystyle \bigcup_{i=1}^{n'} A_i \biggr) = \sum_{k=1}^{n'} (-1)^{k-1} \sum_{i_1 < \dots < i_k} P \biggl( \displaystyle \bigcap_{\kappa=1}^k A_{i_\kappa} \biggr)
  •  n=n'+1 のとき、
     P \biggl( \displaystyle \bigcup_{i=1}^{n'+1} A_i \biggr) = P \biggl( \bigl(\displaystyle \bigcup_{i=1}^{n'} A_i \bigr) \cup A_{n'+1} \biggr) = P \biggl( \displaystyle \bigcup_{i=1}^{n'} A_i \biggr) + P \bigl( A_{n'+1} \bigr) - P \biggl( \bigl(\displaystyle \bigcup_{i=1}^{n'} A_i \bigr) \cap A_{n'+1} \biggr)
     = \displaystyle \sum_{k=1}^{n'} (-1)^{k-1} \sum_{i_1 < \dots < i_k} P \biggl( \displaystyle \bigcap_{\kappa=1}^k A_{i_\kappa} \biggr) + P \bigl( A_{n'+1} \bigr) - \sum_{k=1}^{n'} (-1)^{k-1} \sum_{i_1 < \dots < i_k} P \biggl( \bigl( \displaystyle \bigcap_{\kappa=1}^k A_{i_\kappa} \bigr) \cap A_{n'+1} \biggr)
     = \displaystyle \sum_{k=1}^{n'+1} (-1)^{k-1} \sum_{i_1 < \dots < i_k} P \biggl( \displaystyle \bigcap_{\kappa=1}^k A_{i_\kappa} \biggr)
    • 最後の等号が手抜きに過ぎるけど  n'+1 までの和にするにあたって補充すべき項が補える。